Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 a}{a^{2} - 4 a - 5} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $a^{2} - 4 a - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} - 9 a + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ par $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(a - 5) (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 a (a - 4) + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a \cdot a + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{3 a^{2} + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4 \cdot 1}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 12 a$ et $4 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 6.7.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 (a) + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.7.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 2$ plus $- 6$

$\frac{3 a^{2} + (- 2 - 6) a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a^{2} - 2 a - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 a^{2} - 2 a) - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{a (3 a - 2) - 2 (3 a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Étape 6.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 a - 2$ .

$\frac{(3 a - 2) (a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$